حل {c}{y=1/3x+7}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 7 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-3$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

أضف \frac{x}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{3}x+7$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{3}+7 في المعادلة الأخرى، y+x=3.

$$\frac{1}{3}x+7+x=3$$

اجمع \frac{x}{3} مع x.

$$\frac{4}{3}x+7=3$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$\frac{4}{3}x=-4$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-3$$

عوّض عن x بالقيمة -3 في y=\frac{1}{3}x+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3\right)+7$$

اضرب \frac{1}{3} في -3.

$$y=-1+7$$

اجمع 7 مع -1.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=6,x=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=6,x=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

اطرح y+x=3 من y-\frac{1}{3}x=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

اجمع -\frac{x}{3} مع -x.

$$-\frac{4}{3}x=7-3$$

اجمع 7 مع -3.

$$-\frac{4}{3}x=4$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-3$$

عوّض عن x بالقيمة -3 في y+x=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-3=3$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=6,x=-3$$