حل {c}{x-3y=22}{2y-3x=-31}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 22 } \\ { 2 y - 3 x = - 31 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-3y=22$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$x=3y+22$$

عوّض عن x بالقيمة 3y+22 في المعادلة الأخرى، -3x+2y=-31.

$$-3\left(3y+22\right)+2y=-31$$

اضرب -3 في 3y+22.

$$-9y-66+2y=-31$$

اجمع -9y مع 2y.

$$-7y-66=-31$$

أضف 66 إلى طرفي المعادلة.

$$-7y=35$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=3y+22. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\left(-5\right)+22$$

اضرب 3 في -5.

$$x=-15+22$$

اجمع 22 مع -15.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 22-\frac{3}{7}\left(-31\right)\\-\frac{3}{7}\times 22-\frac{1}{7}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3\left(-3\right)y=-3\times 22,-3x+2y=-31$$

تبسيط.

$$-3x+9y=-66,-3x+2y=-31$$

اطرح -3x+2y=-31 من -3x+9y=-66 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+9y-2y=-66+31$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-2y=-66+31$$

اجمع 9y مع -2y.

$$7y=-66+31$$

اجمع -66 مع 31.

$$7y=-35$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في -3x+2y=-31. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+2\left(-5\right)=-31$$

اضرب 2 في -5.

$$-3x-10=-31$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=-5$$