حل {c}{x-2y=8}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 2 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-22$$

$$y=-15$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=8,2x-3y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=8$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+8$$

عوّض عن x بالقيمة 8+2y في المعادلة الأخرى، 2x-3y=1.

$$2\left(2y+8\right)-3y=1$$

اضرب 2 في 8+2y.

$$4y+16-3y=1$$

اجمع 4y مع -3y.

$$y+16=1$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$y=-15$$

عوّض عن y بالقيمة -15 في x=2y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-15\right)+8$$

اضرب 2 في -15.

$$x=-30+8$$

اجمع 8 مع -30.

$$x=-22$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-22,y=-15$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=8,2x-3y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+2\\-2\times 8+1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\-15\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-22,y=-15$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=8,2x-3y=1$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 8,2x-3y=1$$

تبسيط.

$$2x-4y=16,2x-3y=1$$

اطرح 2x-3y=1 من 2x-4y=16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-4y+3y=16-1$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y+3y=16-1$$

اجمع -4y مع 3y.

$$-y=16-1$$

اجمع 16 مع -1.

$$-y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-15$$

عوّض عن y بالقيمة -15 في 2x-3y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\left(-15\right)=1$$

اضرب -3 في -15.

$$2x+45=1$$

اطرح 45 من طرفي المعادلة.

$$2x=-44$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-22$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-22,y=-15$$