حل {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 23y من الطرفين.

$$2x+y-23y=0$$

اجمع y مع -23y لتحصل على -22y.

$$2x-22y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=89$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+89$$

عوّض عن x بالقيمة -y+89 في المعادلة الأخرى، 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

اضرب 2 في -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

اجمع -2y مع -22y.

$$-24y+178=0$$

اطرح 178 من طرفي المعادلة.

$$-24y=-178$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=\frac{89}{12}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{89}{12} في x=-y+89. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

اجمع 89 مع -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 23y من الطرفين.

$$2x+y-23y=0$$

اجمع y مع -23y لتحصل على -22y.

$$2x-22y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 23y من الطرفين.

$$2x+y-23y=0$$

اجمع y مع -23y لتحصل على -22y.

$$2x-22y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

تبسيط.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

اطرح 2x-22y=0 من 2x+2y=178 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+22y=178$$

اجمع 2y مع 22y.

$$24y=178$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$y=\frac{89}{12}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{89}{12} في 2x-22y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

اضرب -22 في \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

أضف \frac{979}{6} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{979}{6}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{979}{12}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$