حل {c}{x+y=8a}{4x+8y=60}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 a } \\ { 4 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=16a-15$$

$$y=15-8a$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=8a$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+8a$$

عوّض عن x بالقيمة -y+8a في المعادلة الأخرى، 4x+8y=60.

$$4\left(-y+8a\right)+8y=60$$

اضرب 4 في -y+8a.

$$-4y+32a+8y=60$$

اجمع -4y مع 8y.

$$4y+32a=60$$

اطرح 32a من طرفي المعادلة.

$$4y=60-32a$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=15-8a$$

عوّض عن y بالقيمة 15-8a في x=-y+8a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(15-8a\right)+8a$$

اضرب -1 في 15-8a.

$$x=8a-15+8a$$

اجمع 8a مع -15+8a.

$$x=16a-15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4}&-\frac{1}{8-4}\\-\frac{4}{8-4}&\frac{1}{8-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{4}\\-1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8a-\frac{1}{4}\times 60\\-8a+\frac{1}{4}\times 60\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16a-15\\15-8a\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4y=4\times 8a,4x+8y=60$$

تبسيط.

$$4x+4y=32a,4x+8y=60$$

اطرح 4x+8y=60 من 4x+4y=32a عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+4y-8y=32a-60$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-8y=32a-60$$

اجمع 4y مع -8y.

$$-4y=32a-60$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=15-8a$$

عوّض عن y بالقيمة 15-8a في 4x+8y=60. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+8\left(15-8a\right)=60$$

اضرب 8 في 15-8a.

$$4x+120-64a=60$$

اطرح 120-64a من طرفي المعادلة.

$$4x=64a-60$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=16a-15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=16a-15,y=15-8a$$