حل {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=8$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -y+8 في المعادلة الأخرى، 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

اضرب 40 في -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

اجمع -40y مع 55y.

$$15y+320=410$$

اطرح 320 من طرفي المعادلة.

$$15y=90$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-6+8$$

اجمع 8 مع -6.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

لجعل x و40x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 40 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

تبسيط.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

اطرح 40x+55y=410 من 40x+40y=320 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

اجمع 40x مع -40x. حذف الحدين 40x و-40x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y-55y=320-410$$

اجمع 40y مع -55y.

$$-15y=320-410$$

اجمع 320 مع -410.

$$-15y=-90$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في 40x+55y=410. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$40x+55\times 6=410$$

اضرب 55 في 6.

$$40x+330=410$$

اطرح 330 من طرفي المعادلة.

$$40x=80$$

قسمة طرفي المعادلة على 40.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=6$$