حل {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=64$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+64$$

عوّض عن x بالقيمة -y+64 في المعادلة الأخرى، 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

اضرب 12 في -y+64.

$$-12y+768+26y=19$$

اجمع -12y مع 26y.

$$14y+768=19$$

اطرح 768 من طرفي المعادلة.

$$14y=-749$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{107}{2} في x=-y+64. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

اضرب -1 في -\frac{107}{2}.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

اجمع 64 مع \frac{107}{2}.

$$x=\frac{235}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

لجعل x و12x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

تبسيط.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

اطرح 12x+26y=19 من 12x+12y=768 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-26y=768-19$$

اجمع 12y مع -26y.

$$-14y=768-19$$

اجمع 768 مع -19.

$$-14y=749$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{107}{2} في 12x+26y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

اضرب 26 في -\frac{107}{2}.

$$12x-1391=19$$

أضف 1391 إلى طرفي المعادلة.

$$12x=1410$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{235}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$