حل {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=400$$

$$y=100$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=500$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+500$$

عوّض عن x بالقيمة -y+500 في المعادلة الأخرى، 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

اضرب 50 في -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

اجمع -50y مع 80y.

$$30y+25000=28000$$

اطرح 25000 من طرفي المعادلة.

$$30y=3000$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=100$$

عوّض عن y بالقيمة 100 في x=-y+500. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-100+500$$

اجمع 500 مع -100.

$$x=400$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=400,y=100$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=400,y=100$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

لجعل x و50x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 50 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

تبسيط.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

اطرح 50x+80y=28000 من 50x+50y=25000 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

اجمع 50x مع -50x. حذف الحدين 50x و-50x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$50y-80y=25000-28000$$

اجمع 50y مع -80y.

$$-30y=25000-28000$$

اجمع 25000 مع -28000.

$$-30y=-3000$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=100$$

عوّض عن y بالقيمة 100 في 50x+80y=28000. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$50x+80\times 100=28000$$

اضرب 80 في 100.

$$50x+8000=28000$$

اطرح 8000 من طرفي المعادلة.

$$50x=20000$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$x=400$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=400,y=100$$