حل {c}{x+y=35}{35x+30y=1125}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 35 } \\ { 35 x + 30 y = 1125 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=15$$

$$y=20$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=35,35x+30y=1125$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=35$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+35$$

عوّض عن x بالقيمة -y+35 في المعادلة الأخرى، 35x+30y=1125.

$$35\left(-y+35\right)+30y=1125$$

اضرب 35 في -y+35.

$$-35y+1225+30y=1125$$

اجمع -35y مع 30y.

$$-5y+1225=1125$$

اطرح 1225 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-100$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في x=-y+35. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-20+35$$

اجمع 35 مع -20.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=20$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=35,35x+30y=1125$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\1125\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\1125\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\1125\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\1125\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30-35}&-\frac{1}{30-35}\\-\frac{35}{30-35}&\frac{1}{30-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\1125\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{1}{5}\\7&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\1125\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 35+\frac{1}{5}\times 1125\\7\times 35-\frac{1}{5}\times 1125\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\20\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=15,y=20$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=35,35x+30y=1125$$

لجعل x و35x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 35 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$35x+35y=35\times 35,35x+30y=1125$$

تبسيط.

$$35x+35y=1225,35x+30y=1125$$

اطرح 35x+30y=1125 من 35x+35y=1225 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$35x-35x+35y-30y=1225-1125$$

اجمع 35x مع -35x. حذف الحدين 35x و-35x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$35y-30y=1225-1125$$

اجمع 35y مع -30y.

$$5y=1225-1125$$

اجمع 1225 مع -1125.

$$5y=100$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في 35x+30y=1125. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$35x+30\times 20=1125$$

اضرب 30 في 20.

$$35x+600=1125$$

اطرح 600 من طرفي المعادلة.

$$35x=525$$

قسمة طرفي المعادلة على 35.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=20$$