حل {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=21$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+21$$

عوّض عن x بالقيمة -y+21 في المعادلة الأخرى، 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

اضرب 0.25 في -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

اجمع -\frac{y}{4} مع \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

اطرح 5.25 من طرفي المعادلة.

$$-0.2y=-1.9$$

ضرب طرفي المعادلة في -5.

$$y=9.5$$

عوّض عن y بالقيمة 9.5 في x=-y+21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-9.5+21$$

اجمع 21 مع -9.5.

$$x=11.5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=11.5,y=9.5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=11.5,y=9.5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

لجعل x و\frac{x}{4} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.25 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

تبسيط.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

اطرح 0.25x+0.05y=3.35 من 0.25x+0.25y=5.25 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

اجمع \frac{x}{4} مع -\frac{x}{4}. حذف الحدين \frac{x}{4} و-\frac{x}{4}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

اجمع \frac{y}{4} مع -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

اجمع 5.25 مع -3.35 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.2y=1.9$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$y=9.5$$

عوّض عن y بالقيمة 9.5 في 0.25x+0.05y=3.35. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

اضرب 0.05 في 9.5 بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.25x+0.475=3.35$$

اطرح 0.475 من طرفي المعادلة.

$$0.25x=2.875$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$x=11.5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=11.5,y=9.5$$