حل {c}{x+y=180}{x=2y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 180 } \\ { x = 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=120$$

$$y=60$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=180,x-2y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=180$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+180$$

عوّض عن x بالقيمة -y+180 في المعادلة الأخرى، x-2y=0.

$$-y+180-2y=0$$

اجمع -y مع -2y.

$$-3y+180=0$$

اطرح 180 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-180$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=60$$

عوّض عن y بالقيمة 60 في x=-y+180. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-60+180$$

اجمع 180 مع -60.

$$x=120$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=120,y=60$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=180,x-2y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 180\\\frac{1}{3}\times 180\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\60\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=120,y=60$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=180,x-2y=0$$

اطرح x-2y=0 من x+y=180 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+2y=180$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+2y=180$$

اجمع y مع 2y.

$$3y=180$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=60$$

عوّض عن y بالقيمة 60 في x-2y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\times 60=0$$

اضرب -2 في 60.

$$x-120=0$$

أضف 120 إلى طرفي المعادلة.

$$x=120$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=120,y=60$$