حل {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

لمعرفة مقابل x-11، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$y-22-x+11=36$$

اجمع -22 مع 11 لتحصل على -11.

$$y-11-x=36$$

إضافة 11 لكلا الجانبين.

$$y-x=36+11$$

اجمع 36 مع 11 لتحصل على 47.

$$y-x=47$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=122,-x+y=47$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=122$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+122$$

عوّض عن x بالقيمة -y+122 في المعادلة الأخرى، -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

اضرب -1 في -y+122.

$$y-122+y=47$$

اجمع y مع y.

$$2y-122=47$$

أضف 122 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=169$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{169}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{169}{2} في x=-y+122. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

اجمع 122 مع -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

لمعرفة مقابل x-11، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$y-22-x+11=36$$

اجمع -22 مع 11 لتحصل على -11.

$$y-11-x=36$$

إضافة 11 لكلا الجانبين.

$$y-x=36+11$$

اجمع 36 مع 11 لتحصل على 47.

$$y-x=47$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=122,-x+y=47$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

لمعرفة مقابل x-11، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$y-22-x+11=36$$

اجمع -22 مع 11 لتحصل على -11.

$$y-11-x=36$$

إضافة 11 لكلا الجانبين.

$$y-x=36+11$$

اجمع 36 مع 11 لتحصل على 47.

$$y-x=47$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=122,-x+y=47$$

اطرح -x+y=47 من x+y=122 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x+x+y-y=122-47$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+x=122-47$$

اجمع x مع x.

$$2x=122-47$$

اجمع 122 مع -47.

$$2x=75$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{75}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{75}{2} في -x+y=47. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

أضف \frac{75}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{169}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$