حل {c}{x+y=11}{2y+x=17}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 11 } \\ { 2 y + x = 17 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=11,x+2y=17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=11$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+11$$

عوّض عن x بالقيمة -y+11 في المعادلة الأخرى، x+2y=17.

$$-y+11+2y=17$$

اجمع -y مع 2y.

$$y+11=17$$

اطرح 11 من طرفي المعادلة.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-y+11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-6+11$$

اجمع 11 مع -6.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=11,x+2y=17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 11-17\\-11+17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=11,x+2y=17$$

اطرح x+2y=17 من x+y=11 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y-2y=11-17$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-2y=11-17$$

اجمع y مع -2y.

$$-y=11-17$$

اجمع 11 مع -17.

$$-y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x+2y=17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times 6=17$$

اضرب 2 في 6.

$$x+12=17$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=6$$