حل {c}{x+5y=12}{3x+4y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 5 y = 12 } \\ { 3 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11} \approx 2.454545455$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+5y=12,3x+4y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+5y=12$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$x=-5y+12$$

عوّض عن x بالقيمة -5y+12 في المعادلة الأخرى، 3x+4y=9.

$$3\left(-5y+12\right)+4y=9$$

اضرب 3 في -5y+12.

$$-15y+36+4y=9$$

اجمع -15y مع 4y.

$$-11y+36=9$$

اطرح 36 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-27$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=\frac{27}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{27}{11} في x=-5y+12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\times \frac{27}{11}+12$$

اضرب -5 في \frac{27}{11}.

$$x=-\frac{135}{11}+12$$

اجمع 12 مع -\frac{135}{11}.

$$x=-\frac{3}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{27}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+5y=12,3x+4y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\times 12+\frac{5}{11}\times 9\\\frac{3}{11}\times 12-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{27}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{27}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+5y=12,3x+4y=9$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 5y=3\times 12,3x+4y=9$$

تبسيط.

$$3x+15y=36,3x+4y=9$$

اطرح 3x+4y=9 من 3x+15y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+15y-4y=36-9$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-4y=36-9$$

اجمع 15y مع -4y.

$$11y=36-9$$

اجمع 36 مع -9.

$$11y=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{27}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{27}{11} في 3x+4y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\times \frac{27}{11}=9$$

اضرب 4 في \frac{27}{11}.

$$3x+\frac{108}{11}=9$$

اطرح \frac{108}{11} من طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{9}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{3}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{27}{11}$$