حل {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+3y=14$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$x=-3y+14$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+14 في المعادلة الأخرى، 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

اضرب 4 في -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

اجمع -12y مع -y.

$$-13y+56=4$$

اطرح 56 من طرفي المعادلة.

$$-13y=-52$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-3y+14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\times 4+14$$

اضرب -3 في 4.

$$x=-12+14$$

اجمع 14 مع -12.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

تبسيط.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

اطرح 4x-y=4 من 4x+12y=56 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y+y=56-4$$

اجمع 12y مع y.

$$13y=56-4$$

اجمع 56 مع -4.

$$13y=52$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 4x-y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-4=4$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=4$$