حل {c}{9x-2y=-1}{x-3y=18}

$$\left. \begin{array} { c } { 9 x - 2 y = - 1 } \\ { x - 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{39}{25} = -1\frac{14}{25} = -1.56$$

$$y = -\frac{163}{25} = -6\frac{13}{25} = -6.52$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x-2y=-1,x-3y=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x-2y=-1$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$9x=2y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(2y-1\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في 2y-1.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{1}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y-1}{9} في المعادلة الأخرى، x-3y=18.

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{9}-3y=18$$

اجمع \frac{2y}{9} مع -3y.

$$-\frac{25}{9}y-\frac{1}{9}=18$$

أضف \frac{1}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{9}y=\frac{163}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{163}{25}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{163}{25} في x=\frac{2}{9}y-\frac{1}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{9}\left(-\frac{163}{25}\right)-\frac{1}{9}$$

اضرب \frac{2}{9} في -\frac{163}{25} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{326}{225}-\frac{1}{9}$$

اجمع -\frac{1}{9} مع -\frac{326}{225} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{39}{25}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{39}{25},y=-\frac{163}{25}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x-2y=-1,x-3y=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{9\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\left(-3\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\left(-3\right)-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\left(-3\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{9}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\left(-1\right)-\frac{2}{25}\times 18\\\frac{1}{25}\left(-1\right)-\frac{9}{25}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{39}{25}\\-\frac{163}{25}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{39}{25},y=-\frac{163}{25}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x-2y=-1,x-3y=18$$

لجعل 9x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$9x-2y=-1,9x+9\left(-3\right)y=9\times 18$$

تبسيط.

$$9x-2y=-1,9x-27y=162$$

اطرح 9x-27y=162 من 9x-2y=-1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9x-9x-2y+27y=-1-162$$

اجمع 9x مع -9x. حذف الحدين 9x و-9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+27y=-1-162$$

اجمع -2y مع 27y.

$$25y=-1-162$$

اجمع -1 مع -162.

$$25y=-163$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$y=-\frac{163}{25}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{163}{25} في x-3y=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3\left(-\frac{163}{25}\right)=18$$

اضرب -3 في -\frac{163}{25}.

$$x+\frac{489}{25}=18$$

اطرح \frac{489}{25} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{39}{25}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{39}{25},y=-\frac{163}{25}$$