حل {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+6y=-10$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$8x=-6y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-5}{4} في المعادلة الأخرى، -8x-5y=15.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

اضرب -8 في \frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

اجمع 6y مع -5y.

$$y+10=15$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

اجمع -\frac{5}{4} مع -\frac{15}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

لجعل 8x و-8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

تبسيط.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

اطرح -64x-40y=120 من -64x-48y=80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

اجمع -64x مع 64x. حذف الحدين -64x و64x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-48y+40y=80-120$$

اجمع -48y مع 40y.

$$-8y=80-120$$

اجمع 80 مع -120.

$$-8y=-40$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في -8x-5y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-8x-5\times 5=15$$

اضرب -5 في 5.

$$-8x-25=15$$

أضف 25 إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=40$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=5$$