حل {c}{6x-2y=5}{3x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 6 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-2y=5$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=2y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في 2y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{3}+\frac{5}{6} في المعادلة الأخرى، 3x-2y=2.

$$3\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}\right)-2y=2$$

اضرب 3 في \frac{y}{3}+\frac{5}{6}.

$$y+\frac{5}{2}-2y=2$$

اجمع y مع -2y.

$$-y+\frac{5}{2}=2$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-y=-\frac{1}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{6}$$

اضرب \frac{1}{3} في \frac{1}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1+5}{6}$$

اجمع \frac{5}{6} مع \frac{1}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{6}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{2}\times 5-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

اطرح 3x-2y=2 من 6x-2y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-3x-2y+2y=5-2$$

اجمع -2y مع 2y. حذف الحدين -2y و2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6x-3x=5-2$$

اجمع 6x مع -3x.

$$3x=5-2$$

اجمع 5 مع -2.

$$3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في 3x-2y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3-2y=2$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$