حل {c}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=6$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} في المعادلة الأخرى، x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

اجمع -\frac{5y}{4} مع 7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{23}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{6}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{6}{23} في x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{5}{4} في \frac{6}{23} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

اجمع \frac{3}{2} مع -\frac{15}{46} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{27}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

تبسيط.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

اطرح 4x+28y=12 من 4x+5y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-28y=6-12$$

اجمع 5y مع -28y.

$$-23y=6-12$$

اجمع 6 مع -12.

$$-23y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=\frac{6}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{6}{23} في x+7y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

اضرب 7 في \frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

اطرح \frac{42}{23} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{27}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$