حل {c}{4x+3y=13}{x+3y=10}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=13$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+13}{4} في المعادلة الأخرى، x+3y=10.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

اطرح \frac{13}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 3.

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

اجمع \frac{13}{4} مع -\frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

اطرح x+3y=10 من 4x+3y=13 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4x-x=13-10$$

اجمع 4x مع -x.

$$3x=13-10$$

اجمع 13 مع -10.

$$3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في x+3y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$1+3y=10$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$3y=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=3$$