حل {c}{4x+2y=50}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=35$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=50,x+y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=50$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+50$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+50.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+25}{2} في المعادلة الأخرى، x+y=30.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=30$$

اجمع -\frac{y}{2} مع y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=30$$

اطرح \frac{25}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=\frac{35}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=35$$

عوّض عن y بالقيمة 35 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 35+\frac{25}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في 35.

$$x=\frac{-35+25}{2}$$

اجمع \frac{25}{2} مع -\frac{35}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=35$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=50,x+y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-30\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\35\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=35$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=50,x+y=30$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 30$$

تبسيط.

$$4x+2y=50,4x+4y=120$$

اطرح 4x+4y=120 من 4x+2y=50 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+2y-4y=50-120$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-4y=50-120$$

اجمع 2y مع -4y.

$$-2y=50-120$$

اجمع 50 مع -120.

$$-2y=-70$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=35$$

عوّض عن y بالقيمة 35 في x+y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+35=30$$

اطرح 35 من طرفي المعادلة.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=35$$