حل {c}{4x+2y=22}{-2x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 22 } \\ { - 2 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=22,-2x+2y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=22$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+22$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+22\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+22.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+11}{2} في المعادلة الأخرى، -2x+2y=-8.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=-8$$

اضرب -2 في \frac{-y+11}{2}.

$$y-11+2y=-8$$

اجمع y مع 2y.

$$3y-11=-8$$

أضف 11 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-1+11}{2}$$

اجمع \frac{11}{2} مع -\frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=22,-2x+2y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\times 2-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 22-\frac{1}{6}\left(-8\right)\\\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=22,-2x+2y=-8$$

اطرح -2x+2y=-8 من 4x+2y=22 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x+2x+2y-2y=22+8$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4x+2x=22+8$$

اجمع 4x مع 2x.

$$6x=22+8$$

اجمع 22 مع 8.

$$6x=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=5$$

عوّض عن x بالقيمة 5 في -2x+2y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2\times 5+2y=-8$$

اضرب -2 في 5.

$$-10+2y=-8$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=1$$