حل {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3.9x+y=359.7$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3.9x=-y+359.7$$

اقسم طرفي المعادلة على 3.9، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

اضرب \frac{10}{39} في -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} في المعادلة الأخرى، -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

اضرب -1.8 في -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

اجمع \frac{6y}{13} مع -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

أضف \frac{10791}{65} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{13}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2276}{35} في x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

اضرب -\frac{10}{39} في -\frac{2276}{35} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

اجمع \frac{1199}{13} مع \frac{4552}{273} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2287}{21}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

لجعل \frac{39x}{10} و-\frac{9x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1.8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

تبسيط.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

اطرح -7.02x-3.9y=-510.9 من -7.02x-1.8y=-647.46 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

اجمع -\frac{351x}{50} مع \frac{351x}{50}. حذف الحدين -\frac{351x}{50} و\frac{351x}{50}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

اجمع -\frac{9y}{5} مع \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

اجمع -647.46 مع 510.9 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$2.1y=-136.56$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.1، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2276}{35} في -1.8x-y=-131. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

اطرح \frac{2276}{35} من طرفي المعادلة.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

اقسم طرفي المعادلة على -1.8، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{2287}{21}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$