حل {c}{3x-3y=-2^2}{(4-2)x-y=2(2)}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x - 3 y = - 2 ^ { 2 } } \\ { ( 4 - 2 ) x - y = 2 ( 2 ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-3y=-4$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=3y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 3y-4.

$$x=y-\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة y-\frac{4}{3} في المعادلة الأخرى، 2x-y=4.

$$2\left(y-\frac{4}{3}\right)-y=4$$

اضرب 2 في y-\frac{4}{3}.

$$2y-\frac{8}{3}-y=4$$

اجمع 2y مع -y.

$$y-\frac{8}{3}=4$$

أضف \frac{8}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{20}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{20}{3} في x=y-\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{20-4}{3}$$

اجمع -\frac{4}{3} مع \frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&1\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+4\\-\frac{2}{3}\left(-4\right)+4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-3\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

تبسيط.

$$6x-6y=-8,6x-3y=12$$

اطرح 6x-3y=12 من 6x-6y=-8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-6y+3y=-8-12$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+3y=-8-12$$

اجمع -6y مع 3y.

$$-3y=-8-12$$

اجمع -8 مع -12.

$$-3y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{20}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{20}{3} في 2x-y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{20}{3}=4$$

أضف \frac{20}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{32}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$