حل {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-6$$

$$y=13$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y+5=0$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$3x+y=-5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-5}{3} في المعادلة الأخرى، -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

اضرب -2 في \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

اجمع \frac{2y}{3} مع -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

اجمع \frac{10}{3} مع 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

اطرح \frac{13}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=13$$

عوّض عن y بالقيمة 13 في x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

اجمع -\frac{5}{3} مع -\frac{13}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=13$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-6,y=13$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

لجعل 3x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

تبسيط.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

اطرح -6x-3y+3=0 من -6x-2y-10=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

اجمع -6x مع 6x. حذف الحدين -6x و6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+3y-10-3=0$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y-10-3=0$$

اجمع -10 مع -3.

$$y-13=0$$

أضف 13 إلى طرفي المعادلة.

$$y=13$$

عوّض عن y بالقيمة 13 في -2x-y+1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-13+1=0$$

اجمع -13 مع 1.

$$-2x-12=0$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=13$$