حل {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=12$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y+12.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4y}{3}+4 في المعادلة الأخرى، x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

اجمع -\frac{4y}{3} مع 6y.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{14}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{30}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{30}{7} في x=-\frac{4}{3}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

اضرب -\frac{4}{3} في -\frac{30}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

اجمع 4 مع \frac{40}{7}.

$$x=\frac{68}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

تبسيط.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

اطرح 3x+18y=-48 من 3x+4y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-18y=12+48$$

اجمع 4y مع -18y.

$$-14y=12+48$$

اجمع 12 مع 48.

$$-14y=60$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=-\frac{30}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{30}{7} في x+6y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

اضرب 6 في -\frac{30}{7}.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

أضف \frac{180}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{68}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$