حل {c}{3x+2y=32}{365x+226y=265.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 265.6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{8376}{65} = -128\frac{56}{65} \approx -128.861538462$$

$$y = \frac{13604}{65} = 209\frac{19}{65} \approx 209.292307692$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=32,365x+226y=265.6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=32$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+32$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+32}{3} في المعادلة الأخرى، 365x+226y=265.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=265.6$$

اضرب 365 في \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=265.6$$

اجمع -\frac{730y}{3} مع 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=265.6$$

اطرح \frac{11680}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54416}{15}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{52}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{13604}{65}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13604}{65} في x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{13604}{65}+\frac{32}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{13604}{65} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{27208}{195}+\frac{32}{3}$$

اجمع \frac{32}{3} مع -\frac{27208}{195} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{8376}{65}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=32,365x+226y=265.6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 265.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 265.6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8376}{65}\\\frac{13604}{65}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=32,365x+226y=265.6$$

لجعل 3x و365x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 365 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 265.6$$

تبسيط.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=796.8$$

اطرح 1095x+678y=796.8 من 1095x+730y=11680 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-796.8$$

اجمع 1095x مع -1095x. حذف الحدين 1095x و-1095x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$730y-678y=11680-796.8$$

اجمع 730y مع -678y.

$$52y=11680-796.8$$

اجمع 11680 مع -796.8.

$$52y=10883.2$$

قسمة طرفي المعادلة على 52.

$$y=\frac{13604}{65}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13604}{65} في 365x+226y=265.6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$365x+226\times \frac{13604}{65}=265.6$$

اضرب 226 في \frac{13604}{65}.

$$365x+\frac{3074504}{65}=265.6$$

اطرح \frac{3074504}{65} من طرفي المعادلة.

$$365x=-\frac{611448}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 365.

$$x=-\frac{8376}{65}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}$$