حل {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

اطرح \frac{31y}{10} من طرفي المعادلة.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.7، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

اضرب \frac{10}{27} في -\frac{31y}{10}+42.5.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-31y+425}{27} في المعادلة الأخرى، x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

اجمع -\frac{31y}{27} مع y.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

اطرح \frac{425}{27} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{27}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

اضرب -\frac{31}{27} في 5.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

اجمع \frac{425}{27} مع -\frac{155}{27} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

لجعل \frac{27x}{10} وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.7.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

تبسيط.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

اطرح 2.7x+2.7y=40.5 من 2.7x+3.1y=42.5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

اجمع \frac{27x}{10} مع -\frac{27x}{10}. حذف الحدين \frac{27x}{10} و-\frac{27x}{10}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

اجمع \frac{31y}{10} مع -\frac{27y}{10}.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

اجمع 42.5 مع -40.5 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.4y=2$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.4، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+5=15$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$