حل {c}{2x-y=-3}{4x-3y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x - y = - 3 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-6$$

$$y=-9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=-3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y-3.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3+y}{2} في المعادلة الأخرى، 4x-3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=3$$

اضرب 4 في \frac{-3+y}{2}.

$$2y-6-3y=3$$

اجمع 2y مع -3y.

$$-y-6=3$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$-y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{3}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في -9.

$$x=\frac{-9-3}{2}$$

اجمع -\frac{3}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=-9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 3\\2\left(-3\right)-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-6,y=-9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-3\right),2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

تبسيط.

$$8x-4y=-12,8x-6y=6$$

اطرح 8x-6y=6 من 8x-4y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-4y+6y=-12-6$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y+6y=-12-6$$

اجمع -4y مع 6y.

$$2y=-12-6$$

اجمع -12 مع -6.

$$2y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في 4x-3y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-3\left(-9\right)=3$$

اضرب -3 في -9.

$$4x+27=3$$

اطرح 27 من طرفي المعادلة.

$$4x=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-6,y=-9$$