حل {c}{2x-5y=6}{-2x+10y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x - 5 y = 6 } \\ { - 2 x + 10 y = - 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-5y=6,-2x+10y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-5y=6$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=5y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 5y+6.

$$x=\frac{5}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، -2x+10y=-16.

$$-2\left(\frac{5}{2}y+3\right)+10y=-16$$

اضرب -2 في \frac{5y}{2}+3.

$$-5y-6+10y=-16$$

اجمع -5y مع 10y.

$$5y-6=-16$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$5y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{5}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{2}\left(-2\right)+3$$

اضرب \frac{5}{2} في -2.

$$x=-5+3$$

اجمع 3 مع -5.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-5y=6,-2x+10y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{2\times 10-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\times 10-\left(-5\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+\frac{1}{2}\left(-16\right)\\\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{5}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-5y=6,-2x+10y=-16$$

لجعل 2x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2\times 2x-2\left(-5\right)y=-2\times 6,2\left(-2\right)x+2\times 10y=2\left(-16\right)$$

تبسيط.

$$-4x+10y=-12,-4x+20y=-32$$

اطرح -4x+20y=-32 من -4x+10y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+10y-20y=-12+32$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-20y=-12+32$$

اجمع 10y مع -20y.

$$-10y=-12+32$$

اجمع -12 مع 32.

$$-10y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -2x+10y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+10\left(-2\right)=-16$$

اضرب 10 في -2.

$$-2x-20=-16$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-2$$