حل {c}{2x+y=5}{-4x+6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+5}{2} في المعادلة الأخرى، -4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

اضرب -4 في \frac{-y+5}{2}.

$$2y-10+6y=12$$

اجمع 2y مع 6y.

$$8y-10=12$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$8y=22$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=\frac{11}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{4} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{11}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{11}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{9}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

لجعل 2x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

تبسيط.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

اطرح -8x+12y=24 من -8x-4y=-20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-12y=-20-24$$

اجمع -4y مع -12y.

$$-16y=-20-24$$

اجمع -20 مع -24.

$$-16y=-44$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=\frac{11}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{4} في -4x+6y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

اضرب 6 في \frac{11}{4}.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

اطرح \frac{33}{2} من طرفي المعادلة.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=\frac{9}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$