حل {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+7y=77$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$2x=-7y+77$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -7y+77.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y+77}{2} في المعادلة الأخرى، x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع -2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

اطرح \frac{77}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{73}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{73}{11} في x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

اضرب -\frac{7}{2} في \frac{73}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

اجمع \frac{77}{2} مع -\frac{511}{22} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{168}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

تبسيط.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

اطرح 2x-4y=4 من 2x+7y=77 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y+4y=77-4$$

اجمع 7y مع 4y.

$$11y=77-4$$

اجمع 77 مع -4.

$$11y=73$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{73}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{73}{11} في x-2y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

اضرب -2 في \frac{73}{11}.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

أضف \frac{146}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{168}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$