حل {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+6y=7$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$2x=-6y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -6y+7.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+\frac{7}{2} في المعادلة الأخرى، x-y=4.

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{1}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{8} في x=-3y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

اضرب -3 في -\frac{1}{8}.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع \frac{3}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{31}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

تبسيط.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

اطرح 2x-2y=8 من 2x+6y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+2y=7-8$$

اجمع 6y مع 2y.

$$8y=7-8$$

اجمع 7 مع -8.

$$8y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-\frac{1}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{8} في x-y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

اطرح \frac{1}{8} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{31}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$