حل {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x+3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$4x-3y=20$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=10$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+5 في المعادلة الأخرى، 4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

اضرب 4 في -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

اجمع -6y مع -3y.

$$-9y+20=20$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$-9y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{3}{2}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x+3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$4x-3y=20$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x+3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3y من الطرفين.

$$4x-3y=20$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

تبسيط.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

اطرح 8x-6y=40 من 8x+12y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y+6y=40-40$$

اجمع 12y مع 6y.

$$18y=40-40$$

اجمع 40 مع -40.

$$18y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 4x-3y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=0$$