حل {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=25$$

$$y=15$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x+14y=460$$

اطرح 14y من طرفي المعادلة.

$$10x=-14y+460$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{5}+46 في المعادلة الأخرى، x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

اجمع -\frac{7y}{5} مع y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

اطرح 46 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في x=-\frac{7}{5}y+46. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

اضرب -\frac{7}{5} في 15.

$$x=-21+46$$

اجمع 46 مع -21.

$$x=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=25,y=15$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=25,y=15$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

لجعل 10x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 10.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

تبسيط.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

اطرح 10x+10y=400 من 10x+14y=460 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y-10y=460-400$$

اجمع 14y مع -10y.

$$4y=460-400$$

اجمع 460 مع -400.

$$4y=60$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=15$$

عوّض عن y بالقيمة 15 في x+y=40. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+15=40$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$x=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=25,y=15$$