حل {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$10a+b=10$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$10a=-b+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

عوّض عن a بالقيمة -\frac{b}{10}+1 في المعادلة الأخرى، -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

اضرب -1 في -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

اجمع \frac{b}{10} مع b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{10}b=3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{10}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=\frac{30}{11}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{30}{11} في a=-\frac{1}{10}b+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

اضرب -\frac{1}{10} في \frac{30}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

اطرح -a+b=2 من 10a+b=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10a+a+b-b=10-2$$

اجمع b مع -b. حذف الحدين b و-b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10a+a=10-2$$

اجمع 10a مع a.

$$11a=10-2$$

اجمع 10 مع -2.

$$11a=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$a=\frac{8}{11}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{8}{11} في -a+b=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

أضف \frac{8}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$b=\frac{30}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$