حل {c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1)

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-5x+3y=-8$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-5x=-3y-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في -3y-8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+8}{5} في المعادلة الأخرى، -x-3y=2.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

اضرب -1 في \frac{3y+8}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

اجمع -\frac{3y}{5} مع -3y.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

أضف \frac{8}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{18}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -1.

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

اجمع \frac{8}{5} مع -\frac{3}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

لجعل -5x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

تبسيط.

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

اطرح 5x+15y=-10 من 5x-3y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-15y=8+10$$

اجمع -3y مع -15y.

$$-18y=8+10$$

اجمع 8 مع 10.

$$-18y=18$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -x-3y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

اضرب -3 في -1.

$$-x+3=2$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$