حل {c}{-11x+12y=85}{17x-14y=-5}

$$\left. \begin{array} { c } { - 11 x + 12 y = 85 } \\ { 17 x - 14 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{113}{5} = 22\frac{3}{5} = 22.6$$

$$y = \frac{139}{5} = 27\frac{4}{5} = 27.8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-11x+12y=85$$

اطرح 12y من طرفي المعادلة.

$$-11x=-12y+85$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-12y+85\right)$$

اضرب -\frac{1}{11} في -12y+85.

$$x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{12y-85}{11} في المعادلة الأخرى، 17x-14y=-5.

$$17\left(\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}\right)-14y=-5$$

اضرب 17 في \frac{12y-85}{11}.

$$\frac{204}{11}y-\frac{1445}{11}-14y=-5$$

اجمع \frac{204y}{11} مع -14y.

$$\frac{50}{11}y-\frac{1445}{11}=-5$$

أضف \frac{1445}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{50}{11}y=\frac{1390}{11}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{50}{11}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{139}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{139}{5} في x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{12}{11}\times \frac{139}{5}-\frac{85}{11}$$

اضرب \frac{12}{11} في \frac{139}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1668}{55}-\frac{85}{11}$$

اجمع -\frac{85}{11} مع \frac{1668}{55} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{113}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{12}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\\-\frac{17}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{11}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{17}{50}&\frac{11}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 85+\frac{6}{25}\left(-5\right)\\\frac{17}{50}\times 85+\frac{11}{50}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{113}{5}\\\frac{139}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

لجعل -11x و17x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 17 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -11.

$$17\left(-11\right)x+17\times 12y=17\times 85,-11\times 17x-11\left(-14\right)y=-11\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$-187x+204y=1445,-187x+154y=55$$

اطرح -187x+154y=55 من -187x+204y=1445 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-187x+187x+204y-154y=1445-55$$

اجمع -187x مع 187x. حذف الحدين -187x و187x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$204y-154y=1445-55$$

اجمع 204y مع -154y.

$$50y=1445-55$$

اجمع 1445 مع -55.

$$50y=1390$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$y=\frac{139}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{139}{5} في 17x-14y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$17x-14\times \frac{139}{5}=-5$$

اضرب -14 في \frac{139}{5}.

$$17x-\frac{1946}{5}=-5$$

أضف \frac{1946}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$17x=\frac{1921}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$x=\frac{113}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$