حل {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=2$$

$$b=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

اضرب 2 في -b-2.

$$a=-2b-4$$

عوّض عن a بالقيمة -2b-4 في المعادلة الأخرى، a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

اجمع -2b مع -2b.

$$-4b-4=8$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$-4b=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$b=-3$$

عوّض عن b بالقيمة -3 في a=-2b-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

اضرب -2 في -3.

$$a=6-4$$

اجمع -4 مع 6.

$$a=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=2,b=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=2,b=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

لجعل \frac{a}{2} وa متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

تبسيط.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

اطرح \frac{1}{2}a-b=4 من \frac{1}{2}a+b=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

اجمع \frac{a}{2} مع -\frac{a}{2}. حذف الحدين \frac{a}{2} و-\frac{a}{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$b+b=-2-4$$

اجمع b مع b.

$$2b=-2-4$$

اجمع -2 مع -4.

$$2b=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$b=-3$$

عوّض عن b بالقيمة -3 في a-2b=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

اضرب -2 في -3.

$$a+6=8$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$a=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=2,b=-3$$