حل {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

اطرح \frac{y}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

ضرب طرفي المعادلة في 10.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

اضرب 10 في -\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -5y+10 في المعادلة الأخرى، 2x-10y=-20.

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

اضرب 2 في -5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

اجمع -10y مع -10y.

$$-20y+20=-20$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$-20y=-40$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-5y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\times 2+10$$

اضرب -5 في 2.

$$x=-10+10$$

اجمع 10 مع -10.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

لجعل \frac{x}{10} و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{1}{10}.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

تبسيط.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

اطرح \frac{1}{5}x-y=-2 من \frac{1}{5}x+y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

اجمع \frac{x}{5} مع -\frac{x}{5}. حذف الحدين \frac{x}{5} و-\frac{x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+y=2+2$$

اجمع y مع y.

$$2y=2+2$$

اجمع 2 مع 2.

$$2y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x-10y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-10\times 2=-20$$

اضرب -10 في 2.

$$2x-20=-20$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$