حل {l}{x+y=1}{x+t^2y=t}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x + y = 1 }\\{ x + t ^ { 2 } y = t }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -y+1 في المعادلة الأخرى، x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

اجمع -y مع t^{2}y.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1+t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{t+1} في x=-y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{1}{t+1}.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

اطرح x+t^{2}y=t من x+y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

اجمع y مع -t^{2}y.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

قسمة طرفي المعادلة على 1-t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{t+1} في x+t^{2}y=t. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

اضرب t^{2} في \frac{1}{t+1}.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

اطرح \frac{t^{2}}{t+1} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -y+1 في المعادلة الأخرى، x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

اجمع -y مع t^{2}y.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1+t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{1+t} في x=-y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{1}{1+t}.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

اطرح x+t^{2}y=t من x+y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

اجمع y مع -t^{2}y.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

قسمة طرفي المعادلة على 1-t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{t+1} في x+t^{2}y=t. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

اضرب t^{2} في \frac{1}{t+1}.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

اطرح \frac{t^{2}}{t+1} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$