حل {l}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x + y = 4 }\\{ x - 4 y = 19 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$6x=-y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} في المعادلة الأخرى، x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

اجمع -\frac{y}{6} مع -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{22}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{22}{5} في x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{1}{6} في -\frac{22}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع \frac{11}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{7}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

لجعل 6x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

تبسيط.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

اطرح 6x-24y=114 من 6x+y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+24y=4-114$$

اجمع y مع 24y.

$$25y=4-114$$

اجمع 4 مع -114.

$$25y=-110$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{22}{5} في x-4y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

اضرب -4 في -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

اطرح \frac{88}{5} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{7}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$