حل {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -5 في 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

اجمع 60y مع -40y لتحصل على 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

اطرح 12x من الطرفين.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

اجمع 9x مع -12x لتحصل على -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

اطرح 16y من الطرفين.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

اجمع 20y مع -16y لتحصل على 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

إضافة 5 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-3x+4y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=10$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} في المعادلة الأخرى، -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

اضرب -3 في -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

اجمع \frac{9y}{4} مع 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

أضف \frac{15}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -5 في 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

اجمع 60y مع -40y لتحصل على 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

اطرح 12x من الطرفين.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

اجمع 9x مع -12x لتحصل على -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

اطرح 16y من الطرفين.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

اجمع 20y مع -16y لتحصل على 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

إضافة 5 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-3x+4y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 15، أقل مضاعف مشترك لـ 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -5 في 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

اجمع 60y مع -40y لتحصل على 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

اطرح 12x من الطرفين.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

اجمع 9x مع -12x لتحصل على -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

اطرح 16y من الطرفين.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

اجمع 20y مع -16y لتحصل على 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

إضافة 5 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-3x+4y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

لجعل 4x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

تبسيط.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

اطرح -12x+16y=20 من -12x-9y=-30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-16y=-30-20$$

اجمع -9y مع -16y.

$$-25y=-30-20$$

اجمع -30 مع -20.

$$-25y=-50$$

قسمة طرفي المعادلة على -25.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في -3x+4y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+4\times 2=5$$

اضرب 4 في 2.

$$-3x+8=5$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$