حل {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

حل مسائل u، v

$$u=25$$

$$v=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة u بعزل u على يسار علامة التساوي.

$$u-30v=-65$$

أضف 30v إلى طرفي المعادلة.

$$u=30v-65$$

عوّض عن u بالقيمة 30v-65 في المعادلة الأخرى، -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

اضرب -3 في 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

اجمع -90v مع 80v.

$$-10v+195=165$$

اطرح 195 من طرفي المعادلة.

$$-10v=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$v=3$$

عوّض عن v بالقيمة 3 في u=30v-65. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$u=30\times 3-65$$

اضرب 30 في 3.

$$u=90-65$$

اجمع -65 مع 90.

$$u=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=25,v=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة u وv.

$$u=25,v=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

لجعل u و-3u متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

تبسيط.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

اطرح -3u+80v=165 من -3u+90v=195 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

اجمع -3u مع 3u. حذف الحدين -3u و3u، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$90v-80v=195-165$$

اجمع 90v مع -80v.

$$10v=195-165$$

اجمع 195 مع -165.

$$10v=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$v=3$$

عوّض عن v بالقيمة 3 في -3u+80v=165. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$-3u+80\times 3=165$$

اضرب 80 في 3.

$$-3u+240=165$$

اطرح 240 من طرفي المعادلة.

$$-3u=-75$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$u=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=25,v=3$$