حل {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل p، q

$$p=2$$

$$q=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة p بعزل p على يسار علامة التساوي.

$$5p-q=7$$

أضف q إلى طرفي المعادلة.

$$5p=q+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

عوّض عن p بالقيمة \frac{7+q}{5} في المعادلة الأخرى، -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

اضرب -2 في \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

اجمع -\frac{2q}{5} مع 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

أضف \frac{14}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$q=3$$

عوّض عن q بالقيمة 3 في p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

اضرب \frac{1}{5} في 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

اجمع \frac{7}{5} مع \frac{3}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$p=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=2,q=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة p وq.

$$p=2,q=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

لجعل 5p و-2p متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

تبسيط.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

اطرح -10p+15q=25 من -10p+2q=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

اجمع -10p مع 10p. حذف الحدين -10p و10p، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2q-15q=-14-25$$

اجمع 2q مع -15q.

$$-13q=-14-25$$

اجمع -14 مع -25.

$$-13q=-39$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$q=3$$

عوّض عن q بالقيمة 3 في -2p+3q=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة p مباشرةً.

$$-2p+3\times 3=5$$

اضرب 3 في 3.

$$-2p+9=5$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$-2p=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$p=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$p=2,q=3$$