حل {l}{y=mx+6}{y=a+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = m x + 6 } \\ { y = a + 2 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{6-a}{m-2}\text{, }y=-\frac{12-am}{m-2}\text{, }&m\neq 2\\x=\frac{y-6}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=6\text{ and }m=2\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح mx من الطرفين.

$$y-mx=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=a$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+\left(-m\right)x=6,y-2x=a$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+\left(-m\right)x=6$$

أضف mx إلى طرفي المعادلة.

$$y=mx+6$$

عوّض عن y بالقيمة mx+6 في المعادلة الأخرى، y-2x=a.

$$mx+6-2x=a$$

اجمع mx مع -2x.

$$\left(m-2\right)x+6=a$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$\left(m-2\right)x=a-6$$

قسمة طرفي المعادلة على m-2.

$$x=\frac{a-6}{m-2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{a-6}{m-2} في y=mx+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=m\times \frac{a-6}{m-2}+6$$

اضرب m في \frac{a-6}{m-2}.

$$y=\frac{m\left(a-6\right)}{m-2}+6$$

اجمع 6 مع \frac{m\left(a-6\right)}{m-2}.

$$y=\frac{am-12}{m-2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{am-12}{m-2},x=\frac{a-6}{m-2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح mx من الطرفين.

$$y-mx=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=a$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+\left(-m\right)x=6,y-2x=a$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-m\right)}&-\frac{-m}{-2-\left(-m\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-m\right)}&\frac{1}{-2-\left(-m\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m-2}&\frac{m}{m-2}\\-\frac{1}{m-2}&\frac{1}{m-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\a\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{m-2}\right)\times 6+\frac{m}{m-2}a\\\left(-\frac{1}{m-2}\right)\times 6+\frac{1}{m-2}a\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{am-12}{m-2}\\\frac{a-6}{m-2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{am-12}{m-2},x=\frac{a-6}{m-2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح mx من الطرفين.

$$y-mx=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=a$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+\left(-m\right)x=6,y-2x=a$$

اطرح y-2x=a من y+\left(-m\right)x=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+\left(-m\right)x+2x=6-a$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\left(-m\right)x+2x=6-a$$

اجمع -mx مع 2x.

$$\left(2-m\right)x=6-a$$

قسمة طرفي المعادلة على -m+2.

$$x=\frac{6-a}{2-m}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{6-a}{-m+2} في y-2x=a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-2\times \frac{6-a}{2-m}=a$$

اضرب -2 في \frac{6-a}{-m+2}.

$$y-\frac{2\left(6-a\right)}{2-m}=a$$

أضف \frac{2\left(6-a\right)}{-m+2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{12-am}{2-m}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{12-am}{2-m},x=\frac{6-a}{2-m}$$