حل {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح kx من الطرفين.

$$y-kx=b$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 4.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

أوجد قيمة y+\left(-k\right)x=b لـ y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

اطرح \left(-k\right)x من طرفي المعادلة.

$$y=kx+b$$

عوّض عن y بالقيمة kx+b في المعادلة الأخرى، x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

مربع kx+b.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

اضرب 4 في k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

اجمع x^{2} مع 4k^{2}x^{2}.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1+4k^{2} وعن b بالقيمة 4\times 2kb وعن c بالقيمة -4+4b^{2} في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

مربع 4\times 2kb.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

اضرب -4 في 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

اضرب -4-16k^{2} في -4+4b^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

اجمع 64k^{2}b^{2} مع -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right).

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد -16b^{2}+64k^{2}+16.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

اضرب 2 في 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

حل المعادلة x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع -8kb مع 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

اقسم -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} على 2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

حل المعادلة x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} من -8kb.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

اقسم -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} على 2+8k^{2}.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

هناك حلان لـ x: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} و-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. عوّض عن x بالقيمة \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} في المعادلة y=kx+b لإيجاد الحل المقابل لـ y الذي يحقق المعادلتين.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

اضرب k في \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

الآن عوض عن x بالقيمة -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} في المعادلة y=kx+b وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ y الذي يحقق المعادلتين.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

اضرب k في -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$