حل {l}{y=5+x}{5x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 + x } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=4$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-x=5$$

أضف x إلى طرفي المعادلة.

$$y=x+5$$

عوّض عن y بالقيمة x+5 في المعادلة الأخرى، -2y+5x=2.

$$-2\left(x+5\right)+5x=2$$

اضرب -2 في x+5.

$$-2x-10+5x=2$$

اجمع -2x مع 5x.

$$3x-10=2$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y=x+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=4+5$$

اجمع 5 مع 4.

$$y=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=9,x=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=9,x=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-x=5,-2y+5x=2$$

لجعل y و-2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 5,-2y+5x=2$$

تبسيط.

$$-2y+2x=-10,-2y+5x=2$$

اطرح -2y+5x=2 من -2y+2x=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2y+2y+2x-5x=-10-2$$

اجمع -2y مع 2y. حذف الحدين -2y و2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-5x=-10-2$$

اجمع 2x مع -5x.

$$-3x=-10-2$$

اجمع -10 مع -2.

$$-3x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في -2y+5x=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2y+5\times 4=2$$

اضرب 5 في 4.

$$-2y+20=2$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=9,x=4$$