حل {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-4x=5$$

أضف 4x إلى طرفي المعادلة.

$$y=4x+5$$

عوّض عن y بالقيمة 4x+5 في المعادلة الأخرى، -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

اضرب -3 في 4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

اجمع -12x مع 4x.

$$-8x-15=3$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$-8x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{9}{4} في y=4x+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

اضرب 4 في -\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

اجمع 5 مع -9.

$$y=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

لجعل y و-3y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

تبسيط.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

اطرح -3y+4x=3 من -3y+12x=-15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

اجمع -3y مع 3y. حذف الحدين -3y و3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12x-4x=-15-3$$

اجمع 12x مع -4x.

$$8x=-15-3$$

اجمع -15 مع -3.

$$8x=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{9}{4} في -3y+4x=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

اضرب 4 في -\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$-3y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$