حل {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-3x=-2$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$y=3x-2$$

عوّض عن y بالقيمة 3x-2 في المعادلة الأخرى، 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

اضرب 4 في 3x-2.

$$12x-8+5x=9$$

اجمع 12x مع 5x.

$$17x-8=9$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$17x=17$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y=3x-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=3-2$$

اجمع -2 مع 3.

$$y=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=1,x=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=1,x=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

لجعل y و4y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

تبسيط.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

اطرح 4y+5x=9 من 4y-12x=-8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

اجمع 4y مع -4y. حذف الحدين 4y و-4y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12x-5x=-8-9$$

اجمع -12x مع -5x.

$$-17x=-8-9$$

اجمع -8 مع -9.

$$-17x=-17$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في 4y+5x=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$4y+5=9$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$4y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=1,x=1$$